Что означает аннуитет
В рассматриваемой модели заёмщик вносит одинаковую сумму в конце каждого месяца. Из неё оплачиваются проценты за период, а оставшаяся часть уменьшает основной долг. Равенство платежей не означает, что соотношение этих двух частей остаётся постоянным.
Модель предполагает единовременную выдачу кредита, фиксированную ставку, равные месячные периоды и отсутствие просрочек, дополнительных услуг и досрочных платежей. Это математическая схема, а не универсальное воспроизведение банковского графика.
Обозначения и формула
P — сумма кредита в рублях. n — число ежемесячных платежей. i — ставка за один месяц в долях единицы. A — регулярный платёж в рублях.
A = P × i / (1 − (1 + i)^(−n)).
Знак ^ означает возведение в степень. Если годовая номинальная ставка в условии равна 12%, для этой модели i = 12 / 100 / 12 = 0,01. Срок 20 лет означает n = 240. При нулевой ставке используется отдельное выражение A = P / n: подстановка нуля в основную дробь дала бы неопределённость.
Откуда берётся результат
После первого платежа долг равен P × (1 + i) − A. После второго к этому остатку снова начисляется i, затем вычитается A. Повторение операции n раз даёт остаток P × (1 + i)^n − A × ((1 + i)^n − 1) / i. Приравнивая его к нулю, получаем формулу выше. Такой вывод позволяет проверить не только число, но и логику расчёта.
Учебный пример
Возьмём P = 3 000 000 рублей, n = 240 и условную ставку 12% годовых. Расчётный платёж составит примерно 33 032,58 рубля. Это вымышленный набор условий, не действующий банковский тариф.
В первом месяце проценты равны 3 000 000 × 0,01 = 30 000 рублей. На уменьшение основного долга приходится примерно 3 032,58 рубля. Остаток после платежа — около 2 996 967,42 рубля. Во втором месяце проценты начисляются уже на уменьшенную сумму: примерно 29 969,67 рубля. Поэтому при прежнем платеже погашение основного долга становится немного больше.
Проценты в этой модели не оплачиваются вперёд за весь срок. Их большая доля в начале объясняется большим остатком задолженности. Если остаток уменьшается, уменьшается и сумма процентов за следующий одинаковый период.
Как проверить расчёт
В таблице для каждого месяца достаточно четырёх колонок: долг на начало, проценты, погашение основного долга и долг на конец. Сумма всех погашений основного долга должна дать первоначальные 3 000 000 рублей. Без промежуточного округления сумма 240 платежей составляет около 7 927 820,16 рубля, а процентов — 4 927 820,16 рубля.
Округлять каждый промежуточный шаг и округлять только итог — разные способы расчёта. Здесь высокая точность сохраняется до вывода чисел. При денежных платежах до копеек заключительный платёж может потребовать корректировки. Для проверки реального договора нужны его правила начисления процентов и даты: простая месячная модель сама по себе не доказывает ошибку банка.